递归:🤔 如何用三行代码找到“最终推荐人”?

推荐注册返佣金的这个功能我想你应该不陌生吧?现在很多 App 都有这个功能。这个功能中,用户 A 推荐用户 B 来注册,用户 B 又推荐了用户 C 来注册。我们可以说,用户 C 的“最终推荐人”为用户 A,用户 B 的“最终推荐人”也为用户 A,而用户 A 没有“最终推荐人”。

一般来说,我们会通过数据库来记录这种推荐关系。在数据库表中,我们可以记录两行数据,其中 actor_id 表示用户 id,referrer_id 表示推荐人 id。

基于这个背景,我的问题是,给定一个用户 ID,如何查找这个用户的“最终推荐人”? 带着这个问题,我们来学习今天的内容,递归(Recursion)!

去的过程叫“递”,回来的过程叫“归”。

条件

  1. 一个问题可以分解为几个子问题的解
  2. 这个问题与分解后的问题,处理数据不一致外,其他求解思路一致。
  3. 存在递归终止条件,不能无限循环下去。

如何编写递归代码?

上面存在递归的条件中说一个问题可以分解相同的子问题,那么第一步就是需要将递归的相同解答思路列出来。

所以需要先写出递推公式,找到终止条件

使用原文中的例子

假如这里有 n 个台阶,每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶,请问走这 n 个台阶有多少种走法?如果有 7 个台阶,你可以 2,2,2,1 这样子上去,也可以 1,2,1,1,2 这样子上去,总之走法有很多,那如何用编程求得总共有多少种走法呢?

推出公式

实际上,可以根据第一步的走法把所有走法分为两类:

  • 第一类是第一步走了 1 个台阶
  • 另一类是第一步走了 2 个台阶

所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后,n-1 个台阶的走法 加上先走 2 阶后,n-2 个台阶的走法。用公式表示就是:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了递推公式,递归代码基本上就完成了一半。

终止条件

我们再来看下终止条件。当有一个台阶时,我们不需要再继续递归,就只有一种走法。所以 f(1)=1。这个递归终止条件足够吗?我们可以用 n=2,n=3 这样比较小的数试验一下。

n=2 时,f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1,那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外,还要有 f(0)=1,表示走 0 个台阶有一种走法,不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以,我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件,表示走 2 个台阶,有两种走法,一步走完或者分两步来走。

所以,递归终止条件就是 f(1)=1,f(2)=2。这个时候,你可以再拿 n=3,n=4 来验证一下,这个终止条件是否足够并且正确。

我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的:

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了这个公式,我们转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的:

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

🚀 写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

理解递归

在理解递归时,不要去像电脑一样思考,人脑终究有限,所以你无法分析这个问题的子子子...问题。

所以才需要,将问题分解成子问题,而每个子问题的解答方式相同。这样我们只需要考虑一个的解答方式,就可以了。

计算机擅长做重复的事情,所以递归正和它的胃口。而我们人脑更喜欢平铺直叙的思维方式。当我们看到递归时,我们总想把递归平铺展开,脑子里就会循环,一层一层往下调,然后再一层一层返回,试图想搞清楚计算机每一步都是怎么执行的,这样就很容易被绕进去。

如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 B、C、D,你可以假设子问题 B、C、D 已经解决,在此基础上思考如何解决问题 A。而且,你只需要思考问题 A 与子问题 B、C、D 两层之间的关系即可,不需要一层一层往下思考子问题与子子问题,子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节,这样子理解起来就简单多了。

🚀 编写递归代码的关键是,只要遇到递归,我们就把它抽象成一个递推公式,不用想一层层的调用关系,不要试图用人脑去分解递归的每个步骤

⚠ 递归代码要警惕堆栈溢出

递归来说实际上是一个函数,所以在栈内容那边说过,函数是有调用栈的。

所以,一旦递归层次太多,有可能会造成堆栈溢出,危害性极大。

为了避免堆栈溢出,则可以限制调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度后,我们就不在继续往下递归了,直接返回错误。

// 全局变量,表示递归的深度。
int depth = 0;

int f(int n) {
  ++depth;
  if (depth > 1000) throw exception;

  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

但这种做法并不能完全解决问题,因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关,事先无法计算。如果实时计算,代码过于复杂,就会影响代码的可读性。所以,如果最大深度比较小,比如 10、50,就可以用这种方法,否则这种方法并不是很实用。

一般数据只要不是大的离谱就行,或者出现 ❗ 死循环的。

递归代码要警惕重复计算

除此之外,使用递归时还会出现重复计算的问题。把整个递归过程分解一下的话,那就是这样的:

队列

从图中,我们可以直观地看到,想要计算 f(5),需要先计算 f(4) 和 f(3),而计算 f(4) 还需要计算 f(3),因此,f(3) 就被计算了很多次,这就是重复计算问题。

为了避免重复计算,我们可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时,先看下是否已经求解过了。如果是,则直接从散列表中取值返回,不需要重复计算,这样就能避免刚讲的问题了。

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;

  // hasSolvedList可以理解成一个Map,key是n,value是f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSolvedList.get(n);
  }

  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSolvedList.put(n, ret);
  return ret;
}

除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题。递归代码还有很多别的问题。

在时间效率上,递归代码里多了很多函数调用,当这些函数调用的数量较大时,就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上,因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据,所以在分析递归代码空间复杂度时,需要额外考虑这部分的开销,比如我们前面讲到的电影院递归代码,空间复杂度并不是 O(1),而是 O(n)。

🧐 怎么将递归代码改写为非递归代码?

递归有利有弊,利是递归代码的表达力很强,写起来非常简洁;而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。

那我们是否可以把递归代码改写为非递归代码呢?

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;

  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

那是不是所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归写法呢?

笼统地讲,是的。因为递归本身就是借助栈来实现的,只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的,我们没有感知罢了。如果我们自己在内存堆上实现栈,手动模拟入栈、出栈过程,这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。

但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归,本质并没有变,而且也并没有解决前面讲到的某些问题,徒增了实现的复杂度。解答开篇

📜 解答开篇

long findRootReferrerId(long actorId) {
  Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
  if (referrerId == null) return actorId;
  return findRootReferrerId(referrerId);
}

是不是非常简洁?用三行代码就能搞定了,不过在实际项目中,上面的代码并不能工作,为什么呢?这里面有两个问题。

第一,如果递归很深,可能会有堆栈溢出的问题。

第二,如果数据库里存在脏数据,我们还需要处理由此产生的无限递归问题。比如 demo 环境下数据库中,测试工程师为了方便测试,会人为地插入一些数据,就会出现脏数据。如果 A 的推荐人是 B,B 的推荐人是 C,C 的推荐人是 A,这样就会发生死循环。

第一个问题,我前面已经解答过了,可以用限制递归深度来解决。第二个问题,也可以用限制递归深度来解决。也可以使用环处理,后续说明

✅ 总结

递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。

不过递归代码也比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去,正确姿势是写出递推公式,找出终止条件,然后再翻译成递归代码。

递归代码虽然简洁高效,但是,递归代码也有很多弊端。比如,堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等,所以,在编写递归代码的时候,一定要控制好这些副作用。

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