复杂度分析 🧐

数据结构和算法为了解决 '快' 和 '省' 的问题。

只要讲到数据结构与算法,就一定离不开时间、空间复杂度分析。

👉🚀 复杂度分析是整个算法的精髓,只要掌握了它,数据结构和算法的内容基本上就掌握一半以上

为什么需要复杂度分析呢?🤔

当我们把代码跑一遍,通过统计和监控就能得到运行的时间和占用的内存,所以为什么需要复杂度分析呢?多此一举呢?🤔

首先通过统计和监控得到的信息是正确的,✋,但是这个方法有个名字叫事后统计法

这种方法正确是正确,但是存在局限性 😲。

测试结果非常依赖测试环境

❓ 不知道你们有没有遇到过这样的问题,当我们从网上拷贝了别人的代码,然后放到自己的代码中发现无法运行,或者不是很理想的速度。

这是因为每个人电脑环境和配置都不一样,硬件也不同,所以同一段代码也许会出现不同的结果。比如,我们拿同样一段代码,分别用 Intel Core i9 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行,不用说,i9 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。还有,比如原本在这台机器上 a 代码执行的速度比 b 代码要快,等我们换到另一台机器上时,可能会有截然相反的结果。

测试结果受数据规模影响较大

现在流行大数据处理,那么同一段代码在你的电脑上运行个上千次或者上万次,能和在服务器运行个百万次一样吗?所以数据规模量对结果的统计将会造成影响。

所以,🚀 需要一个不用具体的测试数据和环境来测试,就可以粗略的估计出算法的执行效率的方法。

大 O 复杂度表示法

算法的执行效率,也可以看成算法代码执行的时间。但是,如何在不允许代码的情况下,用肉眼得到一段代码的执行时间呢?

首先我们从最简单的累加来说起,下面有块代码:

public int Count(int n){
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        sum = sum + i;
    }
    return sum;
}

从 CPU 角度看,代码的每一行都执行的类似操作是:读数据-运算-写数据。尽管实际上,每行情况都不一样,但是我们只需要粗略估计,将每一行数据时间都统一为一个单元时间unitTime

在这个假设上,这段代码执行时间是多少呢?

首先第一行这种的不计算在内,所以从第 2 行开始,2、3 行都是需要运行一个 unitTime 时间,第 4、5 行都运行了 n 遍,所以总共需要 2n*unitTime 时间,所以,这个代码段的总执行时间为 (2n+2)*unitTime。

可以看出,所有代码的执行时间 T(n)与每行代码的执行次数成正比。

按照这个思路,可以继续推出下面的代码运行时间:

public int Count(int n){
    int sum = 0;
    int i = 0;
    int j = 0;
    for(i; i < n; i++){
        j = 0;
        for(j; j < n; j++){
            sum = sum + i + j;
        }
    }
    return sum;
}

依旧按照上面的来,第 2、3、4 行执行时间依旧是一个单位 unitTime 时间,第 5、6 行在第一个循环中,所以执行次数为 2n*unitTime 时间,第 7、8 行执行了两次循环,就是 n2 次,那么时间也就是 2n2*unitTime;所以总的时间是:🕒 (2n2+2n+3)*unit_time

尽管我们不知大 unitTime 具体的时间,但是通过两段代码推导过程,可以得到一个非常重要的规律,那就是 🚀 所有代码的执行时间 T() 与每行代码的执行次数 n 成正比

通过数学相关的规律可以总结成一个公式。注意:❗ 大 O 就要出现了!

大 O 公式

源码

T_{(n)} = O(f_{(n)})

T(n) 表示代码执行的总时间;n 表示数据规模的大小; f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为是一个公式,所以使用 f(n) 表示。公式中的 O 表示代码执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n+2),第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作 渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度

时间复杂度

如何分析代码的时间复杂度呢?🤔

只关注循环执行的代码段

在上面的例子中,有些行数只执行了一个单元时间,而循环执行的是 n 次的单元时间。

所以当 n 为无穷大时,在数学上我们可以将常量、低阶、系数忽略掉。

所以:第一个代码段的时间复杂度就为 O(n) 。第二个代码段时间复杂度就是 O(n2)

🚀 我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了

加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

比如说将上面两个代码合并:

public Tuple<int,int> Count(int n){
    int sum = 0;
    int sum2 = 0;
    int k = 0;
    int i = 0;
    int j = 0;
    for(k; k < n; k++){
        sum2 = sum2 + k;
    }
    for(i; i < n; i++){
        j = 0;
        for(j; j < n; j++){
            sum = sum + i + j;
        }
    }
    return new Tuple<int, int>(sum, sum2);
}

那么它的复杂度是多少呢?🤔

在第一个时间复杂度分析中,可以舍弃掉常量这些,那么在 n 和 n2 相比时,当 n 无穷大时,那么 n2 远远大于 n ,所以可以舍弃掉 n;那么:🚀 总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度

公式如下:

时间复杂度-加法法则

源码

T_{(n)}= T1_{(n)} + T2_{(n)} = max(O(f_{(n)}) + O(g_{(n)})) = O(max(f_{(n)} + g_{(n)}))

乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

类比加法公式,公式如下:

时间复杂度-乘法法则

来个例子说明下:

public int Count(int n){
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        sum = sum + Cal(i);
    }
    return sum;
}

public int Cal(int n){
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        sum = sum + i;
    }
    return sum;
}

单独查看 Count 函数,假设 Cal 函数只是一个普通操作,那么循环的时间复杂度就是 T1(n) = O(n) 。但是 Cal 函数并不是一个普通操作,它的复杂度是 O(n) ,所以这个 Count 函数的复杂度就是 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

这些都只是简单的时间复杂度。

其他几种常见的时间复杂度实例分析

复杂度量级(按数量级递增)

名称 复杂度
常量阶 O(1)
对数阶 O(logkn) = O(logn)
线性阶 O(n)
线性对数阶 O(nlogkn) = O(nlogn)
k 方阶 O(nk)
指数阶 O(2n)
阶乘阶 O(n!)

以上复杂度量级,可以粗略分为 多项式量级非多项式量级。其中非多项式量级只有两个:O(2n) 和 O(n!) 。

O(1)

首先你必须明确一个概念,O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1),而不是 O(3)。

int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

稍微总结一下,只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,🚀 一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是 Ο(1)

O(logkn)、O(nlogkn)

对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

int i = 0;
while(i <= n){
 i = i * k;
}

根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:

k0 k1 k2 k3......kx = n

所以知道 x 的值即可,通过 kx = n 求解 x 即可,则 x = logkn 。

所以当 k 值变为不同值时,则结果不同,但是同样的是,经过 log 算法拆解,log3n = log32 * log2n ,在上面分析中说过,n 无穷大时,常量可以删除,则相当于 log3n = log2n,所以一般:🚀 在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。

O(m+n)、O(m*n) 多个数据源

在前面我们说的都是单个数据量,那么如果有多个呢?🤔


public int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对多个数据源,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)_T2(n) = O(f(m) _ f(n))。

空间复杂度

前面说了时间复杂度,那么既然有时间复杂度,空间复杂度呢?🤔

当然有。😄

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是 🚀 渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

代码例子:


void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    Console.WriteLine(a[i]);
  }
}

跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i 。但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 ),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

最好、最坏情况时间复杂度

分析下面代码:

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}

这段代码要实现的功能是,在一个无序的数组(array)中,查找变量 x 出现的位置。如果没有找到,就返回 -1。按照上节课讲的分析方法,这段代码的复杂度是 O(n),其中,n 代表数组的长度。

我们在数组中查找一个数据,并不需要每次都把整个数组都遍历一遍,因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。但是,这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

这个时候,问题就来了。我们优化完之后,这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗?🤔

🎉 很显然,咱们上一节讲的分析方法,解决不了这个问题。

因为,要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x,那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了,那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x,那我们就需要把整个数组都遍历一遍,时间复杂度就成了 O(n)。所以,不同的情况下,这段代码的时间复杂度是不一样的。

为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度,我们需要引入三个概念:👉 最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度

🚀 最好情况时间复杂度就是,在最理想的情况下,执行这段代码的时间复杂度。

在最理想的情况下,要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素,这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。

🚀 最坏情况时间复杂度就是,在最糟糕的情况下,执行这段代码的时间复杂度。

如果数组中没有要查找的变量 x,我们需要把整个数组都遍历一遍才行,所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。

平均情况时间复杂度

好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度,发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度,我们需要引入另一个概念:平均情况时间复杂度,后面简称为平均时间复杂度。

我们以上面的例子进行分析。

要查找的变量 x 在数组中的位置,有 n+1 种情况:🚀 在数组的 0 ~ n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下,查找需要遍历的元素个数累加起来,然后再除以 n+1,就可以得到需要遍历的元素个数的平均值,即:

平均情况时间复杂度计算

源码

\frac{1+2+3+...+(n-1)+n+n}{n+1} = \frac{n(n+3)}{2(n+1)}

n 个数据,就是 n 种情况,在加上一个不在 n 个数据中的情况,所以共有 n+1 中情况,则 1+..+n 为 n(n+1)/2 ,则再加个 n 就为 n(n+3)/2 ,在除以 n+1 为 n(n+3)/2(n+1)

时间复杂度的大 O 标记法中,可以省略掉系数、低阶、常量,所以,咱们把刚刚这个公式简化之后,得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

这个结论虽然是正确的,但是计算过程稍微有点儿问题。究竟是什么问题呢?🤔

我们刚讲的这 n+1 种情况,出现的概率并不是一样的。我带你具体分析一下。(这里要稍微用到一点儿概率论的知识,不过非常简单,你不用担心。)

我们知道,要查找的变量 x,要么在数组里,要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦,为了方便你理解,我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外,要查找的数据出现在 0 ~ n-1 这 n 个位置的概率也是一样的,为 1/n。所以,根据概率乘法法则,要查找的数据出现在 0 ~ n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

因此,前面的推导过程中存在的最大问题就是,没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去,那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样:

平均情况时间复杂度概率计算

源码

1\times \frac{1}{2n}+2\times \frac{1}{2n}+3\times \frac{1}{2n}+...+n\times \frac{1}{2n}+n\times \frac{1}{2}=\frac{3n+1}{4}

这个值就是概率论中的加权平均值,也叫作期望值,所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度

引入概率之后,前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示,去掉系数和常量,这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

均摊时间复杂度

均摊时间复杂度,听起来跟平均时间复杂度有点儿像。对于初学者来说,这两个概念确实非常容易弄混。我前面说了,大部分情况下,我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到,而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。

 // array表示一个长度为n的数组
 // 代码中的array.length就等于n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;

 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后,也就是代码中的 count == array.length 时,我们用 for 循环遍历数组求和,并清空数组,将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置,然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间,则直接将数据插入数组。

  • 最理想情况下:数组中由空闲空就按,们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了,所以最好情况时间复杂度为 O(1) 。
  • 最坏的情况下:数组中没有空闲空间了,我们需要先做一次数组的遍历求和,然后再将数据插入,所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。
  • 平均时间复杂度:O(1)。

假设数组的长度是 n,根据数据插入的位置的不同,我们可以分为 n 种情况,每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外,还有一种“额外”的情况,就是在数组没有空闲空间时插入一个数据,这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且,这 n+1 种情况发生的概率一样,都是 1/(n+1)。所以,根据加权平均的计算方法,我们求得的平均时间复杂度就是:

1/(n+1) + ... + 1/(n+1) = n/(n+1)

n/(n+1) + n/(n+1) = 2n/(n+1)

根据复杂度计算,去掉系数就是 n/n 为 1 所以均摊时间复杂度为 O(1)

两个例子的复杂度计算其实是有很大的区别的

首先,find() 函数在极端情况下,复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下,时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下,复杂度才比较高,为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。

第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说,O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入,出现的频率是非常有规律的,而且有一定的前后时序关系,一般都是一个 O(n) 插入之后,紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作,循环往复。

针对这种特殊的场景,我们引入了一种更加简单的分析方法:摊还分析法,通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字,叫🚀 均摊时间复杂度

那究竟如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢?🤔

👉 还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作,都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作,所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上,均摊下来,这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。

均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊,所以我们并不会经常用到。

但是下面说一些它们的应用场景。

对一个数据结构进行一组连续操作中,大部分情况下时间复杂度都很低,只有个别情况下时间复杂度比较高,而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系,这个时候,我们就可以将这一组操作放在一块儿分析,看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时,平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且,在能够应用均摊时间复杂度分析的场合,一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

🚀 均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度

没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法,摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊,这只是个说法,并不重要。

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SpiritLing